создайте профиль
Так ли математика эффективна в описании окружающего мира?
Математика создает иллюзию эффективности, если мы концентрируем свое внимание на удачных примерах. Однако существует намного больше случаев неэффективности математики.
Математика была названа языком Вселенной. Ученые и инженеры часто говорят об элегантности математики, когда описывают физическую реальность, ссылаясь на такие примеры, как π, E = mc2, и даже во время использования абстрактных целых для подсчета объектов реального мира. Но, несмотря на всю необходимость этих формул, можно ли утверждать, что окружающий нас мир говорит на математическом языке и подчиняется ее законам? Точка зрения, в соответствие с которой математика тесно связана с физическим миром, называется платонизмом, однако не все с ней согласны.
Дерек Эбботт, профессор электротехники и электроники в Университете Аделаиды в Австралии, написал интересную работу, в которой утверждает, что математический платонизм дает неточное представление о реальности. Вместо этого он приводит доводы в пользу противоположной точки зрения неплатоников о том, что математика является продуктом человеческого воображения.
Этот аргумент не нов. Эбботт утверждает (основываясь на своем собственном опыте), что в то время, как 80% математиков склоняются к точке зрения Платона, инженеры, по большому счету, платониками не являются. Физики, как правило, "скрытые неплатоники", говорит он, то есть на публике они платоники, но в душе не придерживаются этой концепции.
Но если математики, инженеры и физики прекрасно справляются со своей работой, несмотря на разногласия в восприятии мира, то какая разница, какое отношение математика имеет к реальному миру?
Эйнштейн, математический неплатоник, восхищался математикой. Он спрашивал: «Как математика, продукт человеческой мысли, не зависящая от опыта, может так превосходно соответствовать объектам реальности?»
В 1959 году физик и математик Юджин Вигнер описал эту проблему как "необоснованная эффективность математики". В ответ на эту фразу Эбботт назвал свою работу как "Разумная неэффективность математики". Обе позиции основаны на идее неплатоников о том, что математика является человеческим изобретением. Однако, в то время Вигнера и Эйнштейна можно было считать математическими оптимистами, которые обнаружили все способы, которыми математика может описать реальность. Эбботт пессимистично отмечает, что все эти математические модели ошибочны.
А как именно выглядит "эффективная математика"?
Дерек Эбботтпрофессор электротехники и электроники, Университет Аделаиды, АвстралияНекоторые аргументы в работе Эбботта основаны на идеях математика Ричард У. Хэмминга, который в 1980 году определил четыре причины, почему математика не может быть столь эффективна, как кажется. Однако Хэмминг смирился с мыслью о том, что математика неоправданно эффективна, но Эбботт утверждает, что идеи Хэмминга фактически поддерживают неплатонизм, который утверждает, что математическая эффективность переоценивается.
Вот несколько причин неэффективности математики по Эбботту
Математика кажется успешной, потому что мы производим выбор задач, которым нашли математическое объяснение. Вероятно, существует миллионы неудачных математических моделей, но на них никто не обращает внимание. ( "Гений", пишет Эбботт, "это тот, у кого есть одна хорошая идея и здравый смысл, чтобы умолчать о тысяче других безумных мыслей").
Наше применение математики меняется в зависимости от масштабов. Например, в 1970 году, когда длины транзистора были порядка микрометров, инженеры могли описать поведение транзистора с помощью элегантных уравнений. Современные субмикронные транзисторы включают сложные эффекты, которых не было в более ранних моделях, поэтому инженеры обратились к компьютерному моделированию, для создания меньших транзисторов. Более эффективная формула могла бы описать любой транзистор, но такой компактной формулы не существует.
Даже если модели применимы во всех временных масштабах, то вот пример, основанный на продолжительности жизни человека. Для нас Солнце является источником энергии, но если продолжительность жизни человечества будет равна продолжительности существования Вселенной, то Солнце является лишь недолгой флуктуацией, которая приводит нашу планету в тепловое равновесие с самой собой, пока оно превращается в красного гиганта. С этой точки зрения, Земля не извлекает чистой и полезной энергии из Солнца.
Даже исчисление имеет свои пределы. При подсчете бананов, например, в какой-то момент их количество будет настолько велико, что гравитационное притяжение втянет их в черную дыру. В какой-то момент у нас просто «закончатся» числа, и мы не сможем продолжать их считать.
А как насчет концепции целых чисел? Где заканчивается один банан и начинается второй? Визуально мы это понимаем, но формального математического определения нет. Если бы люди находились в газообразном состоянии и жили в облаках, то посчитать дискретные объекты было бы намного сложнее. Таким образом, аксиомы, основанные на понятии простого подсчета, не являются «врожденными» для нашей Вселенной, они созданы человеком. И нет никакой гарантии, что эти математические описания универсальны.
Что касается практического применения его идей, то Эббот объясняет, что подобное понимание дает большую свободу мысли. Одним из примеров может быть «модернизация» векторных операций. В настоящее время они включают в себя скалярное и векторное произведения. Это довольно «неуклюжий» метод, который далек от совершенства. В последнее время наблюдается возрождение интереса к альтернативному подходу, геометрической алгебре, которая преодолевает многие ограничения скалярного и векторного произведений и может быть расширена до более высоких измерений.
Эбботт в настоящее время работает над учебником по геометрической алгебре для электротехников, который будет опубликован в ближайшем будущем.
